결정학적 위치, 방향, 면

점좌표_{Point Coordinate}

슬립의 발생 방향 등을 판단하기 위해 격자점의 위치를 명시할 필요가 있다. 격자점의 위치는 흔히 수힉에서 그러하듯, 세 개의 축 좌표를 이용해 표현할 수 있다. 그 값은 P_x, P_y, P_z로 나타낼 수 있으며, 점 좌표지수 q, r, s를 이용해 나타낼 수 도 있다. 점 좌표지수는 단위정의 격자상수 a, b, c의 길이 분율이며, 이들의 관계는 다음과 같다.

\[\begin{align} P_x\ =\ qa\\ P_y\ =\ rb\\ P_z\ =\ sc \end{align}\]

점좌표에서 꼭 알아둬야할 개념은 다음과 같다.

• 점좌표는 세 개의 축좌표를 이용해 나타낸다.
• x, y, z 좌표값을 이용해 나타낼 수 있으며,점 좌표상수로도 나타낼 수 있다.
• 점 좌표상수를 이용할 때 기본적으로 괄호 및 쉼표를 사용하지 않는다.
• 괄호를 사용한다면, 쉼표를 이용해 각 좌표를 구분한다.

다음의 예를 이용해 자세히 알아보자.

위의 그림에서 P의 좌표를 축 좌표를 이용해 나타내면 다음과 같다.

\[\begin{align} P_x\ &=\ 0.18nm\\ P_y\ &=\ 0.69nm\\ P_z\ &=\ 0.30nm \end{align}\]

이 값을 점 좌표상수를 이용해 표현하면 다음과 같다.

\[\begin{align} P_x\ &=\ 0.18nm\ =\ qa\ =\ q×0.72nm\\ q\ &=\ \frac{1}{4}\\ P_y\ &=\ 0.69nm\ =\ rb\ =\ r×0.69nm\\ r\ &=\ 1\\ P_z\ &=\ 0.30nm\ =\ sc\ =\ s×0.60nm\\ s\ &=\ \frac{1}{2} \end{align}\]

즉 점P의 점좌표는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\begin{align} 방법1\ &:\ P_x=0.18nm,\ P_y=0.69nm,\ P_z=0.60nm\\ 방법2\ &:\ \frac{1}{4}1\frac{1}{2}\\ 방법3\ &:\ (\frac{1}{4},1,\frac{1}{2}) \end{align}\]

격자점의 정확한 점좌표를 파악하기 위해선 방법 1을, 단위정 내에서 좌표점의 위치 혹은 그 관계를 알기 위해선 방법 2를 주로 사용한다. 수학적 개념과 섞여 방법 3을 사용하기도 하나 결정면과의 혼동을 방지하기 위해 방법 2의 사용이 권장된다.

결정방향_{Crystallographic Direction}

결정방향은 벡터로 나타낸다. 점좌표와 마찬가지로 세 상수를 이용해 나타내며, 방향지수의 결정 방법은 다음과 같다.

1. x-y-z 좌표계를 설정한다. 원점은 단위정의 모서리로 한다.
2. 두 점의 좌표를 잇는 방향 벡터, 즉 벡터의 시작점과 벡터의 끝점을 결정한다.
3. 끝점의 좌표에서 시작점의 좌표를 뺀다.
4. 좌표 차이값을 격자 상수 a, b, c로 나눠서 표준화한다.
5. 필요에 따라 세 개의 숫자를 공통 지수로 나누거나 곱해 최소의 정수 조합을 만든다.
6. 세 지수를 쉼표로 구분하지 않고, 대괄호 안에 표시한다.

※ 격자점의 점좌표는 격자 위치 좌표점이다. (위의 단락에서, P_s)

즉, 요약하면 아래의 식을 이용해 결정한다.

\[\begin{align} u\ &=\ n(\frac{x_2-x_1}{a})\\ v\ &=\ n(\frac{y_2-y_1}{b})\\ n\ &=\ n(\frac{z_2-z_1}{c}) \end{align}\]

결정방향에서 꼭 알아둬야할 개념은 다음과 같다.

• 결정방향은 세 정수의 조합으로 나타낸다.
• 대괄호를 이용해 나타내며, 쉼표를 사용하지 않는다.
• 음수는 바(￣)를 이용해 나타낸다.

다음의 예를 이용해 자세히 알아보자.

과정 1, 2: 위의 그림에서 녹색 화살표는 M점에서 P점으로 향하고있다. 이 때, 시점과 끝점의 좌표는 다음과 같다.

\[\begin{align} x_1=0a,\ y_1&=0b,\ z_1=0c\\ x_2=\frac{1}{4}a,\ y_2&=1b,\ z_2=\frac{1}{2}c \end{align}\]

과정 3, 4: 좌표값의 차이를 구하고 각각 격자 상수로 나눠 표준화 한 세 값은 다음과 같다.

\[\begin{align} \frac{x_2-x_1}{a}\ &=\ \frac{1}{4}\\ \frac{y_2-y_1}{b}\ &=\ 1\\ \frac{z_2-z_1}{c}\ &=\ \frac{1}{2} \end{align}\]

과정 5, 6: 세 값에 공통 지수를 곱해 정수로 만든 후 대괄호 안에 표시한다.

\[\begin{align} &u\ =\ 4×\frac{1}{4}\ =\ 1\\ &v\ =\ 4×1\ =\ 4\\ &n\ =\ 4×\frac{1}{2}\ =\ 2\\ \\ &결정방향:\ [142] \end{align}\]

결정방향족_{Crystallographic Direction family}

입방 구조와 같은 특정 구조에서 평행하지 않은 방향들이 동등한 경우가 있다. 이러한 경우 각 방향으로의 원자 간 거리가 같다. 편의상 동등한 방향들을 묶어 족(family)이라고 하며 각괄호로 표기한다. 예를들어 입방 결정에서는 수의 차례나 부호와 관계 없이 같은 족의 지수를 갖는 방향은 동등하다.

ex) 입방정계의 경우 다음의 결정방향은 모두 같다: $[100], [010], [001], [\bar{1}00], [0\bar{1}0], [00\bar{1}]$: <100>

육방 결정계의 결정방향

육방 대칭형 결정계에서는 결정학적으로 동등한 방향이 같은 족의 방향 지수를 가지지 않는 경우가 발생한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 밀러-브라베 좌표계(Miller-Bravais 좌표계)를 도입한다. 일반적인 좌표계에선 바닥면(basal 면)에 두 개의 축과 그에 수직한 하나의 축이 존재하지만, 밀러-브라베 좌표계에선 바닥면에 세 개의 축과 그에 수직한 하나의 축이 존재한다. 일반적인 좌표계(3지수계)에서 밀러-브라베 좌표계(4지수계)로 변환하기 위해선 다음의 방법을 이용한다.

\[\begin{align} [UVW]\ →\ [uvtw]\\ \end{align}\] \[\begin{align} u\ &=\ \frac{1}{3}(2U-V)\\ v\ &=\ \frac{1}{3}(2V-U)\\ t\ &=\ -(u+v)\\ w\ &=\ W \end{align}\]

결정면_{Crystallographic Plane}

결정면 또한 결정방향과 유사한 방법으로 나타낸다. 육방계 이외의 모든 결정계에서는 3축 좌표계를 이용하며, (hkl)형태의 밀러 지수(Miller index)를 사용한다. 서로 평행한 면들은 모두 동등하며 같은 지수를 같는다. 밀러지수의 결정 방법은 다음과 같다.

1. 만약 면이 좌표축의 중심(원점)을 지날 경우 평행이동을 통해 다른 평행한 면으로 이동시키거나 다른 단위정에 새로운 좌표축 중심을 만들어야한다.
2. 이 때 각 축의 면과 만나는 지점의 좌표를 격자 상수 a, b, c로 나타낸다. 면과 축이 만나지 않는 경우 무한대에서 만난다고 생각한다.
3. 구해진 수의 역수를 취한다.
4. 구해진 수의 역수를 격자 상수의 단위로 표준화한다.
5. 이들 세 값에 공통수를 곱하거나 나누어 최소의 정수쌍으로 바꾼다.
6. 구해진 정수 지수는 괄호 안에 쉼표 없이 (hkl)로 표시한다.

즉, 요약하면 아래의 식을 이용해 결정한다.

\[\begin{align} h\ &=\ \frac{na}{A}\\ k\ &=\ \frac{nb}{B}\\ l\ &=\ \frac{nc}{C} \end{align}\]

결정면에서 꼭 알아둬야할 개념은 다음과 같다.

• 결정면은 세 정수의 조합으로 나타낸다.
• 소괄호를 이용해 나타내며, 쉼표를 사용하지 않는다.
• 축에 평행한 면은 무한대에서 만난다고 가정한다.
• 음수는 바(￣)를 이용해 나타낸다.

다음의 예를 이용해 자세히 알아보자

Case 1:A

\[\begin{align} x축과 결정면의 교점의 좌표: 1a\\ y축과 결정면의 교점의 좌표: 1b\\ z축과 결정면의 교점의 좌표: 1c\\ \end{align}\] \[\begin{align} &h\ =\ \frac{1a}{1a}\ =\ 1\\ &k\ =\ \frac{1b}{1b}\ =\ 1\\ &l\ =\ \frac{1c}{1c}\ =\ 1\\ \\ &결정면:\ (111) \end{align}\]

Case 2:B

\[\begin{align} x축과 결정면의 교점의 좌표: 1a\\ y축과 결정면의 교점의 좌표: 1b\\ z축과 결정면의 교점의 좌표: ∞c\\ \end{align}\] \[\begin{align} &h\ =\ \frac{1a}{1a}\ =\ 1\\ &k\ =\ \frac{1b}{1b}\ =\ 1\\ &l\ =\ \frac{1c}{∞c}\ =\ 0\\ \\ &결정면:\ (110) \end{align}\]

Case 3:C

그림 C의 경우 결정면이 x축, z축과 겹치기 때문에 적절히 평행이동을 해야한다. 결정면을 y축 방향으로 1만큼 이동시켜 계산하면 다음과 같다.

\[\begin{align} x축과 결정면의 교점의 좌표: ∞a\\ y축과 결정면의 교점의 좌표: 1b\\ z축과 결정면의 교점의 좌표: ∞c\\ \end{align}\] \[\begin{align} &h\ =\ \frac{1a}{1a}\ =\ 0\\ &k\ =\ \frac{1b}{1b}\ =\ 1\\ &l\ =\ \frac{1c}{∞c}\ =\ 0\\ \\ &결정면:\ (010) \end{align}\]

결정면족_{Crystallographic Plane family}

동일한 결정면족은 동일한 원자 배열을 가진다. 족은 중괄호 내에 나타낸다. 입방정계에서는 동일한 지수를 가지는 면은 순서나 부호에 관계 없이 모두 동등하기 때문에 같은 결정족이 된다.

ex) 입방정계의 경우 다음의 결정면은 모두 같다: $(111), (\bar{1}11), (1\bar{1}1), (11\bar{1}), (\bar{1}\bar{1}1), (\bar{1}1\bar{1}), (1\bar{1}\bar{1}), (\bar{1}\bar{1}\bar{1})$: {111}

육방 결정계의 결정면

육방 결정계의 결정면은 결정 방향에서 그러했듯이 밀러-브라베 좌표계(Miller-Bravais 좌표계)를 이용한다. 4축 좌표계이며, 바닥면(basal면)에 3개의 축이 존재한다. 일반적인 좌표계에서 밀러-브라베 좌표계 좌표계로 변환하기 위해선 다음의 방법을 이용할 수 있다.

\[\begin{align} h\ &=\ h\\ k\ &=\ k\\ i\ &=\ -(h+k)\\ l\ &=\ l\\ \end{align}\]

정리

	좌표 형태	지수 기호	수식	수식 기호
위치		q r s	$q=\frac{P_x}{a}$	$P_x=격자\ 위치\ 좌표$
방향
	비육방계	[uvw]	$u=n(\frac{x_2-x_1}{a})$	$x_1=시작점\ 좌표-x축,\ x_2=끝점\ 좌표-x축$
	육방계(3축)	[UVW]	$U=n(\frac{a_1”-a_1’}{a})$	$a_1’=시작점\ 좌표-a_1축,\ a_1”=끝점\ 좌표-a_1축$
	육방계(4축)	[uvtw]	$u=\frac{1}{3}(2U-V)$
면
	비육방계	(hkl)	$h=\frac{na}{A}$	A=면-x축 교차
	육방계	(hkil)	$i=-(h+k)$